Равномерное и экспоненциальное распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения Экспоненциальное распределение вероятностей

F * (x)= .

Точечные оценки:

Несмещенная оценка генеральной средней (мат.ожидания ):

, х i – варианта выборки, m i – частота варианты х i , - объем выборки.

Смещенная оценка генеральной дисперсии – выборочная дисперсия:

, так как

.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит «исправленная дисперсия»:

. При п<30.

Коэффициент вариации:

.

Центральный момент к -го порядка:

.

Начальный момент к -го порядка:

.

Ассиметрия : , т 3 =

Эксцесс : , где т 4 =

Групповая средняя : .

Общая средняя: , где .

Общая дисперсия: .

Интервальные оценки:

Доверительный интервал для мат.ожидания а нормально распределенного количества признака Х :

.

Критерий согласия Пирсона:

Если число наблюдений очень велико, то закон распределения СВ не зависит от того, какому закону подчинена генеральная совокупность. Он приближается к распределению с к степенями свободы, а сам критерий называется критерием согласия Пирсона:

, где к – количество интервалов сгруппированного ряда, т i >0,05n .

Количество степеней свободы : r=k-p-1 , где к – количество интервалов, р – количество параметров закона.

Уровень значимости α :

α=0,05 и α=0,01.

Если , то Н 0 принимается , т.е. предполагаемый закон распределения отвечает эмпирическим данным. При этом мы ошибаемся в 5-ти случаях из 100, принимая возможно ошибочную гипотезу (ошибка 2-го рода).

Если , то Н 0 отвергается , т.е. предполагаемый закон не отвечает эмпирическим данным. При этом мы ошибаемся в 1-ом случае из 100, отбрасывая правильную гипотезу (ошибка 1-го рода).

Если , то имеем неопределенность и можно использовать др. критерии.

Корреляция

- сумма частот в i -ом столбце;

- сумма частот в к -ой строке;

- число пар (х i ; y k) .

Условное среднее : .

Теоретические уравнения линий регрессии :

.

Расчет числовых характеристик:

Показатель тесноты корреляционной связи – эмпирическое корреляционное отношение:

, где .

.

Свойства:

1. 0≤η≤1 .

2. если η =1, то у(х) – связь функциональная.

3. η =0, то связи нет.

4. η≥ .

5. если η = , то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

6. чем ближе η к 0, тем корреляционная связь слабее, чем ближе к 1, тем корреляционная связь сильнее и в пределе она превращается в функциональную зависимость.

Коэффициент корреляции:

.

Проверка значимости параметров корреляционной зависимости:

1. Проверка существенности линейной корреляционной связи (значимости регрессии) .

При больших объемах выборки коэф.корреляции подчиняется нормальному закону. При этом .

2. Проверка значимости регрессии :

.

Если τ р >2,58, то с уверенностью 99% можно утверждать, что корреляционная зависимость существенна (регрессия значима). Т.е. корреляционная связь существует не только в выборке, но и во всей генеральной совокупности.

τ р <1,96, то с уверенностью 95% можно утверждать, что корреляционная зависимость не явл. существенной, т.е. она характерна только для данной выборки и может не существовать в генеральной совокупности.

1,96<τ р < 2,58 – несущественная корреляционная зависимость.

3. Проверка линейности выбранной модели (проверка адекватности):

.

Р=99% (α=0,01): t=2,58

Р=95% (α=0,05): t=1,96

Если величина η у/х удовлетворяет этому неравенству, то выбранная модель адекватна, она соответствует эмпирическим данным.

Критерий Фишера:

, п – число наблюдений, к – число интервалов по Х.

При уровнях значимости:

α=0,05 и α=0,01: F 0,05 (k-1;n-1); F 0,01 (k-1;n-k).

Если F y / x

Проверка значимости регрессии:

, по табл. F 0,01 (1;n-2), F 0,05 (1;n-2).

Если F R >F 0,01 , то регрессия значима, если F R

Адекватность модели по Фишеру:

.

F 0,01 (k-2;n-k), F 0,05 (k-2;n-k).

Если F A >F 0,01 , то модель неадекватна, если F A

Критерий Романовского:

, где r – число ступеней свободы. Если ρ<3 , то расхождение между теоретическими и эмпирическими распределениями нужно считать незначительными.

Критерий согласованности Калмагорова:

- наибольшая по абсолютной величине разность между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределения.

к – количество интервалов.

По таблице находим соответствующее значение вероятности Р(λ). Если Р(λ)<0,05, то расхождение между распределениями существенно, оно не может быть вызвано случайными причинами. Чем ближе эта вероятность к 1, тем лучше теоретическое распределение согласовывается с эмпирическим.

где λ – постоянная положительная величина.

Из выражения (3.1), следует, чтопоказательное распределение определяется одним параметром λ.

Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями , зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д . Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону , может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона .

Итак

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.

Учитывая, что получим:

Значения функции можно находить по таблице.

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание , используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Следовательно:

Найдем среднее квадратическое отклонение , для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что

т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяетсяв различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.

4.1 Распределение «хи-квадрат» (- распределение)

Пусть Χ i (ί = 1, 2, ..., n)-нормальные незави­симые случайные величины , причем математическое ожи­даниекаждой из нихравно нулю , а среднее квадратическое отклонение - единице .

Тогдасумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы , если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы

Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.

Плотность этого распределения

где - гамма-функция, в частности .

Отсюда видно, чтораспределение хи-квадрат опре­деляется одним параметром - числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободыраспределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.

Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ = ½ и k = n /2 – 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:

Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ = ½ .

Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределенииопределяетсячерез специальные неполные табулированные гамма-функции

Рис.4.1. а )Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении

4.2 Распределение Стьюдента

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём

а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы.Тогда величина:

имеет распределение, которое называют t -распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),

с k = n - 1 степенями свободы (n - объём статистической выборки при решении задач статистки).

Итак , отношение нормированной нормальной величинык квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы , деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента:

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

• равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель	Раномерный закон распределения	Показательный закон распределения
Определение	Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид	Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
		где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb .
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

• математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

В исходных факторах, мы свяжем факторы 1 - 7 с факторами из раздела VI. 3 в том порядке, в котором они записаны, т. е. фактор 1 - это усечение, фактор 2 - симметрия и т. д. Затем мы свяжем уровни + и - факторов в табл. 4 с двумя уровнями факторов VI. 3 случайным образом. Этот случайный порядок был достигнут с помощью таблицы случайных чисел и сравнением этих чисел с 1/2. Результаты этой процедуры показаны в табл. 5. Совмещение табл. 4 и 5 дает план в исходных факторах, приведенный в табл. 6, где Л1, (i = 1,. .., 4) обозначают неизвестные случайные величины , имеющие экспоненциальное распределение с параметром Ьг - Ь. В качестве примера рассмотрим комбинацию 1 в табл. 6. Факторы 1 и 2 находятся на уровне + в табл. 4. Следовательно, из табл. 5 мы должны взять усеченное, асимметричное распределение с поднятыми хвостами. В табл. 1 мы видим, что это распределение - экспоненциальное распределение случайной величины х. Фактор 6 находится на уровне  

В нашем случае для технологических изделий объективные причины не позволяют пользоваться этими законами распределения . Во-первых, условием получения нормального закона являются совместные действия множества случайных факторов , ни один из которых не является доминирующим. Этому не соответствуют условия эксплуатации и выбраковки изделий технологического назначения, где обязательно фигурируют доминирующие факторы. Во-вторых, для экспоненциального закона обязательны условия ординарности, стационарности и последействия, которые зачастую не выполняются для этих изделий. В частности, поток отказов их нельзя считать стационарным вследствие меняющегося во времени вероятностного режима его.  

Такая информация отражает сложившиеся условия производственных процессов и поэтому является выборкой из генеральной совокупности . На основании закона больших чисел можно утверждать, что если генеральная совокупность подчиняется определенному закону распределения , то и выборка из этой совокупности при достаточно большом ее объеме будет подчиняться этому закону. Чаще всего этот закон неизвестен, и определение его вызывает значительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается хорошо известным законам распределения , чаще всего-экспоненциальному и нормальному.  

Под словом случайно будем понимать, что вероятность прибытия на АЗС одного автомобиля за любой малый промежуток времени , начинающийся в произвольный момент времени / и имеющий длину т, с точностью до пренебрежимо малых величин пропорциональна т с некоторым коэффициентом пропорциональности X > 0. Величину К можно интерпретировать как среднее число автомобилей, появляющихся на станции за единицу времени, а обратную ей величину 1Л, - как среднее время появления одного автомобиля. Вероятность того, что за этот промежуток времени не прибудет ни одного автомобиля, считается приблизительно равной 1 - т, а вероятность прибытия двух или более автомобилей - величиной, пренебрежимо малой по сравнению со значением Ял. Из выдвинутых предположений можно получить следующие выводы. Во-первых, промежутки времени / между двумя последовательными прибытиями автомобилей удовлетворяют экспоненциальному распределению  

Потери, возникающие в результате работы средств автоматизации за этот промежуток, могут быть подсчитаны на основе использования теории надежности, согласно которой внезапные отказы определяются как выход системы из строя вследствие возникновения непредвиденных, внезапных концентраций внешних нагрузок и внутренних напряжений, превышающих расчетные. Если часть элементов и соединений изготовлена или отремонтирована некачественно, то они будут отказывать при более низких нагрузках. Поэтому отказы дефектных элементов распределяются экспоненциально (рассматривается пуассоновский характер распределения внезапных выходов из строя), со средней наработкой в несколько раз меньшей, чем у остальных элементов.  

Экспоненциальное распределение. Этому распределению, как правило, подчиняются наработки внезапных отказов (т. е. отказов вследствие скрытых дефектов технологии) и распределение времени между двумя последовательными отказами, если изделия работают в установившемся режиме .  

Рассмотрим случай, когда исследуемый параметр распределен по экспоненциальному закону.  

Я. Б. Шор дает следующую формулу для определения доверительного интервала для генеральной средней в случае распределения случайной величины по экспоненциальному закону  

Несмотря на кажущуюся необременительность условий, при которых получено последнее выражение, в теоретическом отношении для ряда интересных случаев они оказываются невыполнимыми. Это происходит, когда производная g (x) в точке х = v обращается в бесконечность. В частности, так обстоят дела с двусторонним экспоненциальным распределением, с которым мы уже встречались в примерах 2 и 3 из . В одном варианте построения оптимального  

В этой главе мы рассмотрим наиболее употребительные законы распределения случайных величин , а также основные параметры этих законов. Будут даны методы поиска функции распределения вероятности случайной величины в случае неинтегрируемой плотности вероятности , а также алгоритмы получения последовательностей случайных величин с произвольным законом распределения , что необходимо при моделировании случайных процессов . Особое внимание будет уделено обобщенному экспоненциальному распределению, которое наиболее пригодно при изучении ценообразования активов.  

Одним из важнейших распределений, встречающихся в статистике, является нормальное распределение (распределение Гаусса), относящееся к классу экспоненциальных. Плотность вероятности этого распределения  

Еще одним типом экспоненциального распределения, наряду с нормальным, является распределение Лапласа , плотность которого выражается формулой  

Обобщенное экспоненциальное распределение.  

Выше в этой главе были рассмотрены два вида экспоненциальных распределений Гаусса и Лапласа. У них много общего они симметричны, зависят от двух параметров (//, сг),  

В VI. 2 мы коротко опишем ММР и цель эксперимента, т. е. изучение чувствительности ММР к нарушению его предпосылок. В VI.3 мы подробно обсудим различные факторы, которые могут влиять на эту чувствительность. Ненормальность распределения мы определим как фактор 1. Этот фактор описывает возможность или невозможность для случайных величин стать меньше заданной константы (так называемый фактор усеченное распределения) асимметрию и хвосты распределения мы примем фактором 2. Комбинируя факторы 1 и 2, мы выберем четыре типа распределений (экспоненциальное, Эрланга, взвешенную разность двух случайных величин с экспоненциальным распределением и сумму разностей случайных величин с экспоненциальным распределением). Неоднородность дисперсий будет обозначена как фактор 3. Это означает, что дисперсия наилучшей генеральной совокупности (afki) может быть либо больше, либо меньше дисперсии конкурирующей худшей совокупности (при наименее благоприятной ситуации). Фактор 4 измеряет, сильно ли различаются или не различаются вовсе эти две дисперсии. Фактор 5 показывает, являются ли дисперсии худших генеральных совокупностей (в наименее благоприятной ситуации) равными или они все различны. Фактор 6 определяет число совокупностей (три или семь) фактор 7 определяет расстояние 8 = 6 между наилучшей и следующей за ней совокупностями в наименее благоприятной ситуации . Фактор Р, гарантирующий минимальное значение вероятности правильного выбора, рассматривается  

Такая информация является выборкой из генеральной, совокупности, имеющей определенный закон распределения . Чащевсе-го этот закон неизвестен и определение его вызывает зиждительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается х >ошо известным законам распределения , чаще всего - экспоненциальному и нормальному.  

законов распределения . В частности, при b = 1 он превращается в экспоненциальный закон , при b = 2 - в закон Релея, при b - = 3,25 - близок к нормальному. Зто обстоятельство позволяет использовать один и тот математический аппарат при исследовании самых различных потоков отказов изделий. Кроме того, этот  

В ряде исследований утверждается, что для отказов технических изделий вследствие износа, усталости, коррозии и старения вполне удовлетворительным будет нормальный или логарифмически нормальный закон распределения , в случае же внезапных отказов, возникающих вследствие случ-айных перегрузок, аварий и т. д., подходит экспоненциальный закон распределения .  

Универсальность данного закона объясняется тем, что при различных значениях параметра b он приближается к ряду законов распределения . В частности, при Ь = он превращается в экспоненциальный закон , при 6=2 - в закон Релея, при Ь = = 3,25 - близок к нормальному.  

В данном примере мы рассмотрели самый простой случай пуассоновский входной поток , экспоненциальное время обслуживания , одна обслуживающая установка. На самом деле, в реальности, и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включают в себя большее число бензоколонок. Для того чтобы упорядочить классификацию систем массового обслуживания , американский математик Д. Кен-далл предложил удобную систему обозначений, широко распространившуюся к настоящему времени. Тип системы массового обслуживания Кендалл обозначил с помощью трех символов, первый из которых описывает тип входного потока , второй - тип вероятностного описания системы обслуживания , а третий - количество обслуживающих приборов. Символом М он обозначал пуассоновское распределение входного потока (с экспоненциальным распределением интервалов между заявками), этот же символ применялся и для экспоненциального распределения продолжительности обслуживания. Таким образом, описанная и изученная в этом параграфе система массового обслуживания имеет обозначение М/М/1. Система M/G/3, например, расшифровывается как система с пуассоновским входным потоком , общей (по-английски - general) функцией распределения времени обслуживания и тремя обслуживающими устройствами. Встречаются и другие обозначения D -детерминированное распределение интервалов между поступлением заявок или длительностей обслуживания, Е - распределение Эрланга порядка п и т. д.  

На основе изложенных здесь методов построения последовательностей случайных чисел с различными распределениями можно построить процедуры randl и rand2, использовавшиеся в программе на языке алгол для расчетов по модели автозаправочной станции . Если используемые случайные интервалы между автомобилями и продолжительности обслуживания имеют экспоненциальное распределение, то лучше использовать метод обратных функций , а если некоторое эмпирическое распределение, то - метод, основанный на запоминании дискретных значений в оперативной памяти ЭВМ.  

Перейдем к описанию времени обслуживания автомобиля. Поскольку водители берут разное количество бензина и различаются между собой по сноровке, то время обслуживания вряд ли можно считать постоянным. Пусть вероятность того, что обслуживание автомобиля, находящегося на заправке в любой момент t, будет завершено в малом интервале U, f + rJ, приблизительно равна JLIT, где и > 0. Вероятность того, что обслуживание за этот промежуток времени не закончится, считается приблизительно равной 1 - цт, а вероятность того, что будет закончено обслужи-. ванне двух и более автомобилей, - пренебрежимо малой величиной. Тогда

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный ) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид :

(12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

(12.3)

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

Т.к. , то остается вычислить :

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

(12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

Пример 1. Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

Решение . а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

Пример 2. Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

Решение . Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

. (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

. (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

. (12.11)

Пример 3. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение . В нашем примере , тогда воспользуемся (12.11):

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов ).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

(12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".

Элементы комбинаторики

Пространство элементарных событий. Случайные события.

Вероятность

Современное понятие вероятности

Классическая вероятностная схема

Геометрические вероятности

Закон сложения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Формула полной вероятности

Теорема гипотез. Формула Байеса.

Повторение испытаний. Схема Бернулли.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Случайные величины

Функции распределения

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Основные свойства плотности распределения

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Свойства математического ожидания

Моменты случайной величины

Свойства дисперсии

Асимметрии и эксцесс

Многомерные случайные величины

Свойства двумерной функции распределения

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Задача Бюффона

Условная плотность распределения

Числовые характеристики системы случайных величин

Свойства коэффициента корреляции

Нормальный (гауссов) закон распределения

Вероятность попадания на интервал

Свойства нормальной функции распределения

Распределение ("хи–квадрат")

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Числовые характеристики показательного распределения

Функция надежности

Возможно, будет полезно почитать:

• Смешные стишки про наташку Прикольные посты про наташу ;
• Красивые статусы про сестер со смыслом Цитаты про двух сестер родных ;
• Нежные статусы любимому парню Нежность статусы и высказывания ;
• Квест "Заговор изгоев" в "Скайриме": прохождение Что делать с изгоями скайрим ;
• Жены и мужья Где найти жену в skyrim ;
• Заговор изгоев прохождение скайрим Заговор изгоев баг со стражниками ;
• Торговцы в "Скайриме": взаимодействие, советы, моды Мод торговец ;
• Полный разбор масок драконьих жрецов ;